Monday, August 15, 2005

División de polinomios:


1.1 .- El caso general de la división de polinomios.

La división de polinomios, en general se realiza de forma semejante a la de números de varias cifras, aunque las operaciones que realizamos rápidame.nte con los números, con los polinomios las vamos indicando.

En la división de polinomios se sigue el siguiente proceso:

- Se divide el primer término del dividendo entre el primero del divisor, dando lugar al primer término del cociente
- Se multiplica dicho término por el divisor y se coloca debajo del dividendo con los signos contrarios, cuidando que debajo de cada término se coloque otro semejante
- Se suman los polinomios colocados al efecto, obteniéndose un polinomio de grado menor al inicial
- Se continua el proceso hasta que el resto ya no se pueda dividir entre el divisor por ser de menor grado.

1.2.- División de polinomios por el método de coeficientes separados

P r o c e d i m i e n t o

1. Se ordenan los dos polinomios respecto a una misma letra
2. Se escriben solamente los coeficientes con sus respectivos signos, escribiendo 0 donde falte algún término
3. Se efectúa la división con los coeficientes
4. El exponente del primer término del cociente se calcula restando el exponente del primer término del divisor del exponente del primer término del dividendo. Los exponentes de los demás términos irán disminuyendo de 1 en 1. Donde aparece 0 en el cociente no se escribe el término correspondiente


MathType 5.0 Equation



1. Este método es recomendable para polinomios de una sola variable.

Ejemplo:

Efectuar la siguiente división:



Solución:

Observamos que el polinomio dividendo y divisor están ordenados.

Luego:

6 – 20 – 13 + 25 – 12 + 7

3 – 1 + 1

- 6 + 2 – 2

2 – 6 - 7 + 8

- 18 – 15 + 25

18 – 6 + 6

-21 + 31 – 12

+21 – 7 + 7

24 – 5 + 7

-24 + 8 – 8

+ 3 - 1


El cociente (q) es de grado: q° = D° - d° = 5 – 2 = 3
\ El cociente es q = 2x3 – 6x2 – 7x + 8
El de grado: r° = d° - 1 = 2 – 1 = 1
El resto (r) es de grado r = 3x – 1


http://usuarios.lycos.es/calculo21/id130.htm

http://www.monografias.com/trabajos16/productos-notables/productos-notables.shtml#DIVIS


1.3.- División de polinomios por el método de Horner


Este método se emplea para la división de dos polinomios de cualquier grado.


Procedimiento:


- Se escribe los coeficientes del dividendo en una fila con su propio signo
- Se escribe los coeficientes del divisor en una columna a la izquierda del primer término del dividendo; el primero de ellos con su propio signo y los restantes con signo cambiado.
- El primer término del dividendo se divide entre el primer término del divisor, obteniéndose el primer término del cienote.
- Se multiplica este término del cociente solamente por los términos del divisor a los cuales se cambio de signo, colocándose los resultados a partir de la segunda fila, corriendo un lugar hacia la derecha.
- Se reduce la siguiente columna y se coloca el resultado en la parte superior para dividirlo entre el primer coeficiente del divisor y obtener el segundo termino del cociente.
- Se multiplica este cociente por los términos del divisor a los cuales se cambió de signo, colocándose el resultado en la tercera fila y corriendo un lugar hacia la derecha.
- Se continuaría este procedimiento hasta obtener el término debajo del último término del dividendo, separando inmediatamente los términos del cociente y resto.
- Para obtener los coeficientes del residuo se reducen directamente cada una de las columnas

que pertenecen.


Ejemplo:


Dividir:




Solución:

q° = D° - d°

q° = 5 – 2 = 3

r° = d – 1 = 2 – 1 = 1


Solución:

- 18

- 21

24

3

6

- 20

- 13

+ 25

- 12

+ 7

1

2

- 2

-1

- 6

+ 6

- 7

+ 7

+ 8

- 8

2

- 6

- 7

+ 8

+ 3

- 1













Q (x) = 2x3 – 6x2 – 7x + 8

(Cociente obtenido)

R (x) = 3x – 1

(Residuo obtenido)

http://www.monografias.com/trabajos16/productos-notables/productos-notables.shtml#DIVIS

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1.4.- Casos del método de Ruffini.


Esta regla, es un caso particular del método de Horner. Se aplica en general para dividir un P(x) entre un divisor que tenga o adopte las siguientes formas


x ± b; ax ± b y axn ± b


Cuando el coeficiente del primer término del divisor es diferente de cero.


Su forma general: x ± b. se opera así


- Se escriben los coeficientes del dividendo en línea horizontal;
- Se escribe el término independiente del divisor, con signo cambiado, un lugar a la izquierda y
abajo del coeficiente del primer término del dividendo;
- Se divide como en el caso de Horner, teniendo presente que el primer coeficiente del cociente es igual al primer coeficiente del dividendo.
- Para obtener el cociente, se separa la última columna que viene a ser el resto.


Ejm

Solución:


Escribimos los coeficientes en el respectivo cuadro (completando con ceros los términos que faltan):

q° = D° - d° = 5 – 1 = 4

r° = d° - 1 = 1 – 1 = 0

Cocientes del dividendo

2

0

1

0

3

2

- 1

- 2

2

- 3

3

- 6

2

- 2

3

- 3

6

- 4

Resto

Coeficiente del cociente













Termino Independiente del divisor con signo cambiado

Entonces: Q(x) = 2x4 – 2x3 + 3x2 – 3x + 6 (cociente obtenido)

R(x) = 4 (residuo obtenido)


Cuando el divisor es de la forma: axn + b

“En este caso para que la división se pueda efectuar los exponentes de la variable del dividendo, deben ser múltiplos del exponente de la variable del divisor.”


Ejemplo

Hallar el cociente y el resto en:
Haciendo: x9 = y, la división es:

3y + 1 = y + 1/3 = 0 Þ y = -1/3

6

+ 17

- 16

+ 17

+ 12

-1/3

- 2

- 5

7

- 8

6

+ 15

- 21

+ 24

4







Cociente primario: 6y3 + 15y2 – 21y + 24

Simplificando tenemos (dividiendo entre 3): 2y3 + 5y2 – 7y + 8

Reemplazando: y = x9, el cociente será: 2x27 + 5x18 – 7x9 + 8

Y de residuo o resto, tenemos: R = 4

http://www.monografias.com/trabajos16/productos-notables/productos-notables.shtml#DIVIS


1.5.- Teorema del resto o Descates.

En el álgebra, el teorema del resto permite determinar el resto de un polinomio totalidad P (x) en la división para un binomio de la forma x - él afirma que el resto de tal división es igual al valor que polinomio lo asume para x = a Dividendo polinomio P (x) para un polinomio D (x), tiene una relación del tipo:

P(x) = D(x) \cdot Q(x) + R(x)


Dónde R (x) es un polinomio de grado infravalora del de D (x). En particular, si D (x) = x - a, la relación pasa a ser:

P(x) = (x - a) \cdot Q(x) + r


Dónde r es una constante numérica. Al colocar x = a se obtiene:

P(a) = (a - a) \cdot Q(a) + r = r


Es decir, lo que queríamos mostrar. Un fácil corollario del teorema del resto es el teorema de Ruffini: P(x) es divisible para x - a si es solamente si el resto es nulo y en consecuencia P (a) = 0, de esta manera resulta posible determinar el divisibilità para binomios x - sin a realizar a la división.


Wikipedia, teorema del resto, 16/08/05, disponible en la siguiente página web

http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_resto

http://soko.com.ar/matem/matematica/polinomio.htm


1.6.- Casos y propiedades de los cociente notables.


a) Primer caso: (an + bn) ÷ (a + b)


En este caso será una respuesta exacta tan solo cuando el exponente n sea un número impar.

Veamos entonces el siguiente ejemplo: (x5 + y5) ÷ (x + y)

Debemos empezar la respuesta tomando el primer término, pero bajándole un grado, por x5-1 = x4


A partir de ahí bebemos ir intercalando los signos (+, -, +, -, etc).


En el segundo término debe seguir bajando el grado del primer término (ahora será x3), pero además deberá aparecer el segundo término (aparece y): x3y


Para los demás términos de la respuesta se seguirá bajando el grado del primer término y se ira incrementando el grado del exponente del segundo término.

(x5 + y5) ÷ (x + y) = x4 -x3b + x2y2 -xy3 +y4


b) Segundo caso: (an - bn) ÷ (a - b)


En este caso se tendrá una respuesta exacta siempre, no importara si el exponente es par o impar.


Veamos entonces el siguiente ejemplo: (x6 - y6) ÷ (x - y)


La mecánica es prácticamente la misma que en el caso (a), con la única diferencia que en la respuesta todos los términos se estarán sumando (es decir todos los signos serán más).

(x6 + y6) ÷ (x + y) = x5 +x4b + x3y2 +x2y3 +xy4+y5

c) Tercer caso: (an -bn) ÷ (a + b)


En este caso tendremos respuesta exacta solo cuando el exponente n sea un número par.

Veamos entonces el siguiente ejemplo: (x4 - y4) ÷ (x + y)

Debemos empezar tomando el primer término, pero bajándole un grado, por x4-1 = x3


A partir de ahí bebemos ir intercalando los signos (+, -, +, -, etc).


En el segundo término debe seguir bajando el grado del primer término (ahora será x2), pero además deberá aparecer el segundo término (aparece y): x2y


Para los demás términos de la respuesta se seguirá bajando el grado del primer término (hasta que este desaparezca) y se ira incrementando el grado del exponente del segundo término.

(x4 - y4) ÷ (x + y) = x3 -x2b + xy2 -y3


1.7.- Casos de la factorización.


a) Factor común monomio.

Este método se busca un factor común a todos y cada uno de los términos de un polinomio. Este factor resultara ser un monomio, el mismo que debemos encontrar.

Dado un polinomio cualesquiera, lo primero que tendremos que hacer para hallar el Factor Común Monomio será encontrar el M.C.D. de la parte numérica de todos los términos.

ab + ac + ad = a ( b + c + d )


b) Factor común polinomio

En este caso se busca un factor común a todos y cada uno de los términos de un polinomio, este factor será otro polinomio.

c(a + b) + d(a + b) + e(a + b) = (a + b)( c + d + e )


c) Por agrupación de términos

En la factorización por agrupación de términos se hace una mezcla de las anteriores técnicas de factorización.

Dado un polinomio cualesquiera primero debemos formar grupos de términos con características comunes (de preferencia de dos términos cada grupo) y a cada uno de estos grupos le sacaremos el F.C.M.(factor común monomio).

En una expresión de dos, cuatro, seis o un número par de términos es posible asociar por medio de paréntesis de dos en dos o de tres en tres o de cuatro en cuatro de acuerdo al número de términos de la expresión original. Se debe dar que cada uno de estos paréntesis que contiene dos, o tres o mas términos se le pueda sacar un factor común y se debe dar que lo que queda en los paréntesis sea lo mismo para todos los paréntesis o el factor común de todos los paréntesis sea el mismo y este será el factor común.

\begin{displaymath}{ax+bx+ay+by=

\begin{displaymath}{=

\begin{displaymath}{=


d) Diferencia de cuadrados

Para factorizar esta expresión se extrae la raíz cuadrada de los dos términos y se multiplica la resta de los dos términos por la suma de los dos.

Caso especial: Se puede presentar que uno o los dos términos de la diferencia contenga mas de un término.

Caso especial: Se puede dar una expresión de cuatro términos donde tres de ellos formen un trinomio cuadrado perfecto que al ser factorizado y combinado con el cuarto término se convierta en una diferencia de cuadrados, o pueden ser seis términos que formen dos trinomios cuadrados perfectos y al ser factorizados formen una diferencia de cuadrados

\begin{displaymath}{x^2}-{y^2}=

e) Suma o diferencia de cubos

Su nombre lo indica, se reconoce por ser la suma o la resta de dos cubos. Su solución será dos factores, el primero de ellos es un binomio formado por las dos raíces cúbicas de los términos dados, el segundo factor esta formado por tres términos así: la primera raíz al cuadrado, la primera raíz por la segunda y la segunda raíz al cuadrado. Los signos pueden ser de dos formas acuerdo a lo siguiente:

f) Trinomio de segundo grado

§ Trinomio cuadrado perfecto

Una expresión se denomina Trinomio cuadrado perfecto cuando consta de tres términos donde el primero y tercer términos son cuadrados perfectos (tienen raíz cuadrada exacta) y positivos, y el segundo término es el doble producto de sus raíces cuadradas.
Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer término y se separan estas raíces por el signo del segundo término. El binomio así formado se eleva al cuadrado.

Ejemplo:

\begin{displaymath}{m^4-10m^2n^2+9n^4}\end{displaymath}


resolviendolo nos queda:

\begin{displaymath}{m^4-10m^2n^2+9n^4+4m^2n^2-4m^2n^2}\end{displaymath}



\begin{displaymath}{m^4-6m^2n^2+9n^4-4m^2n^2}\end{displaymath}



\begin{displaymath}{(m^2-3n^2)^2-(2mn)^2} \end{displaymath}


Aplicamos diferencia de cuadrados:

\begin{displaymath}{[(m^2-3n^2)+2mn][(m^2-3n^2)-2mn]} \end{displaymath}

§ Trinomio de la forma x2+bx+c: método del aspa

Esta clase de trinomio se caracteriza por lo siguiente:

- El primer término tiene como coeficiente 1 y la variable esta al cuadrado.

- El segundo término tiene coeficiente entero de cualquier valor y signo y la misma variable

- El tercer término es independiente (no contiene la variable).

Luego x2 + 6x + 8 =(x + 4)(x + 2)



§ Trinomio de la forma ax2+bx+c; (a¹1)

Este trinomio se diferencia del trinomio cuadrado perfecto en que el primer término pude tener coeficientes diferentes de 1.

Se procede de la siguiente forma:

Se multiplica todo el trinomio por el coeficiente del primr término, de esta forma se convierte en un trinomio de la forma:

x2 + bx + c

y se divide por el mismo coeficiente. Se factoriza el trinomio en la parte superior del fraccionario y se simplifica con el número que esta como denominador.


Polinomio primo o irreducible

Se conoce como polinomio primo aquel que solamente es divisible por sus polinomios asociados y por polinomios constantes. Aquel polinomio que no es primo, se le llama compuesto o reducible

§ Trinomio por suma y resta (Quita y Pon)

Algunos trinomios no cumplen las condiciones para ser trinomios cuadrados perfectos, el primer y tercer término tienen raíz cuadrada perfecta pero el término de la mitad no es el doble producto de las dos raíces. Se debe saber cuanto debe ser el doble producto y la cantidad que falte para cuadrar el término de la mitad, esta cantidad se le suma y se le resta al mismo tiempo, de tal forma se armara un trinomio cuadrado y factorizado unido con el último término tendremos una diferencia de cuadrados.

Caso especial: factorizar una suma de cuadrados, se suma el término que hace falta para formar un trinomio cuadrado perfecto y al mismo tiempo se resta esta misma cantidad, así tendremos un trinomio cuadrado perfecto enseguida una diferencia de cuadrados.

Ejemplo:

\begin{displaymath}{m^4-10m^2n^2+9n^4}\end{displaymath}


resolviendolo nos queda:

\begin{displaymath}{m^4-10m^2n^2+9n^4+4m^2n^2-4m^2n^2}\end{displaymath}



\begin{displaymath}{m^4-6m^2n^2+9n^4-4m^2n^2}\end{displaymath}



\begin{displaymath}{(m^2-3n^2)^2-(2mn)^2} \end{displaymath}


Aplicamos diferencia de cuadrados:

\begin{displaymath}{[(m^2-3n^2)+2mn][(m^2-3n^2)-2mn]} \end{displaymath}



§ Empleando aspa doble

El método del aspa simple, se emplea para trinomios (polinomios de tres términos)

· Empleando el método de los divisores binomios

Para factorizar un polinomio que se supone resulta de multiplicar entre sí varios binomios de la forma x ±a, x ± b , x ±c , etc., se busca sus divisores, aplicando la propiedad del residuo de la división, y se indica el producto de todos los factores así hallados.

Ejemplo: Factorizar el polinomio

x3 - 10x2 + 23x - 14.

Los divisores de -14 son: ± 1, ± 2, ± 7, ± 14.

Los divisores binomios que hay que comprobar son:
x + 1, x - 1, x + 2, x - 2, x + 7, x - 7, x + 14, x - 14.

P(-1) = - 1 - 10 - 23 - 14 = - 48,
P(1) = 1 - 10 + 23 - 14 = 0,
P(-2) = - 8 - 40 - 46 - 14 = - 108,
P(2) = 8 - 40 + 46 - 14 = 0,
P(-7) = - 343 - 490 - 161 - 14 = - 1008,
P(7) = 343 - 490 + 161 - 14 = 0,
P(-14) = - 2744 - 1960 - 322 - 14 = - 5040,
P(14) = 2744 - 1960 + 322 - 14 = 1092.

La factorización es, pues, como sigue:
x3 - 10x2 + 23x - 14 = (x - 1)(x - 2)(x - 7).


· Máximo común divisor

El máximo común divisor (M.C.D.; mcd) de dos o más números naturales es el mayor divisor posible de todos ellos. Para el cálculo del máximo común divisor de dos o más números se descompondrán los números en factores primos y se tomarán los factores comunes con su menor exponente.

Por ejemplo, de las factorizaciones de 6936 y 1200,

6936 = 23 · 3 · 172

1200 = 24 · 3 · 52

podemos inferir que su m.c.d. es 23 · 3 = 24


· Mínimo común múltiplo

El mínimo común múltiplo (m. c. m.) de dos o más números es el menor múltiplo común distinto de cero.

  • Ejemplo: Averiguar el m.c.m. de Sacar el M.C.D. de 20 y 10:

20:

20, 40, 60, 80...

10:

10, 20, 30...

20 es el múltiplo menor que es común a ambos números.

http://www20.brinkster.com/fmartinez/algebra4.htm

http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/fcomun1.htm

http://64.233.161.104/search?q=cache:ntgNaosdjVQJ:sipan.inictel.gob.pe/internet/av/fcomun2.htm+%22factor+comun+polinomio&hl=es

http://www.gfc.edu.co/estudiantes/anuario/2001/sistemas/natalia/Latex/node6.html

http://www.memo.com.co/fenonino/aprenda/matemat/matematicas4.html

http://www.gfc.edu.co/estudiantes/anuario/2001/sistemas/natalia/Latex/node8.html

http://www.gfc.edu.co/estudiantes/anuario/2001/sistemas/natalia/Latex/node9.html

http://encina.pntic.mec.es/~vpascual/depart/Los%20polinhtml.htm

http://edulat.com/diversificado/matematicas/temas_consulta/1_8.htm

http://64.233.161.104/search?q=cache:yfbscfXg_3oJ:dc.inictel.gob.pe/proyectoteleed/curso-mat/trinomio-x/pagina2tx.htm+%22Trinomio+de+la+forma+x2%2Bbx%2Bc&hl=es

http://www.galeon.com/student_star/factor03.html

http://enciclopedia.us.es/index.php/Máximo_común_divisor

http://www.estudiantes.info/matematicas/maximo_comun_divisor.htm

http://www.estudiantes.info/matematicas/minimo_comun_multiplo.htm

http://descartes.cnice.mecd.es/3_eso/Multiplos_divisores/mcm2n.htm


Características de un buen juego

- Un buen juego debe ser didáctico.

- Tiene que ser divertido.

- Llamativo y resaltante en colores

- La persona que lo juega no se debe aburrir.

- La persona que lo juega debe estar tan concentrada que no quiere que nadie lo/a interrumpa.

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